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Décroissance exponentielle et pourcentage de changement

Décroissance exponentielle et pourcentage de changement

Lorsqu'un montant initial est réduit d'un taux constant sur une période donnée, une décroissance exponentielle se produit. Cet exemple montre comment résoudre un problème de taux constant ou calculer le facteur de décroissance. La clé pour comprendre le facteur de désintégration consiste à se renseigner sur le pourcentage de changement.

Voici une fonction de décroissance exponentielle:  

y = a (1-b)X

où:

  • "y" est le montant final restant après la décroissance sur une période donnée
  • "a" est le montant initial
  • "x" représente le temps
  • Le facteur de décomposition est (1-b).
  • La variable, b, est le pourcentage de changement sous forme décimale.

Comme il s'agit d'un facteur de décroissance exponentiel, cet article se concentre sur le pourcentage de diminution.

Façons de trouver un pourcentage de diminution

Trois exemples aident à illustrer les moyens de trouver un pourcentage de diminution:

Le pourcentage de diminution est mentionné dans l'histoire

La Grèce subit d'énormes difficultés financières car elle doit plus qu'elle ne peut en rembourser. En conséquence, le gouvernement grec tente de réduire ses dépenses. Imaginons qu'un expert ait dit aux dirigeants grecs qu'ils devaient réduire leurs dépenses de 20%.

  • Quel est le pourcentage de diminution, b, des dépenses de la Grèce? 20 pour cent
  • Quel est le facteur de dégradation des dépenses de la Grèce?

Facteur de décomposition:

(1 - b) = (1 - .20) = (.80)

Le pourcentage de diminution est exprimé dans une fonction

Alors que la Grèce réduit ses dépenses publiques, les experts prédisent que sa dette diminuera. Imaginez si la dette annuelle du pays pouvait être modélisée par cette fonction:

y = 500 (1 - .30)X

où "y" signifie des milliards de dollars et "x" le nombre d'années depuis 2009.

  • Quel est le pourcentage de diminution, b, de la dette annuelle de la Grèce? 30 pour cent
  • Quel est le facteur de désintégration de la dette annuelle de la Grèce?

Facteur de décomposition:

(1 - b) = (1 - .30) = .70

Le pourcentage de diminution est caché dans un ensemble de données

Après que la Grèce ait réduit les services et les salaires du gouvernement, imaginez que ces données détaillent la dette annuelle projetée de la Grèce.

  • 2009: 500 milliards de dollars
  • 2010: 475 milliards de dollars
  • 2011: 451,25 milliards de dollars
  • 2012: 428,69 milliards de dollars

Comment calculer le pourcentage de diminution

A. Choisissez deux années consécutives à comparer: 2009: 500 milliards de dollars; 2010: 475 milliards de dollars

B. Utilisez cette formule:

Pourcentage de diminution = (plus ancien - plus récent) / plus âgé:

(500 milliards - 475 milliards) / 500 milliards = 0,05 ou 5 pour cent

C. Vérifiez la cohérence. Choisissez deux autres années consécutives: 2011: 451,25 milliards de dollars; 2012: 428,69 milliards de dollars

(451,25 - 428,69) / 451,25 est environ 0,05 ou 5 pour cent

Pourcentage de diminution dans la vie réelle

Le sel est le scintillement des casiers à épices américains. Glitter transforme le papier de construction et les dessins rudimentaires en chères cartes de fête des mères; le sel transforme les aliments par ailleurs fades en favoris nationaux. L'abondance de sel dans les croustilles, le maïs soufflé et la tarte au pot hypnotise les papilles gustatives.

Malheureusement, trop de goût peut gâcher une bonne chose. Aux mains d'adultes aux mains fortes, l'excès de sel peut entraîner une hypertension artérielle, des crises cardiaques et des accidents vasculaires cérébraux. Récemment, un législateur a annoncé un projet de loi qui obligerait les citoyens et les résidents américains à réduire leur consommation de sel. Et si la loi sur la réduction du sel était adoptée et que les Américains commençaient à consommer moins de minerai?

Supposons que chaque année, les restaurants ont pour mandat de réduire les niveaux de sodium de 2,5% par an à compter de 2017. La diminution prévue du nombre de crises cardiaques peut être décrite par la fonction suivante:

y = 10 000 000 (1 - 0,10)X

où "y" représente le nombre annuel de crises cardiaques après "x" années.

Apparemment, le projet de loi aurait sa valeur. Les Américains seraient affligés avec moins de coups. Voici des projections fictives pour les AVC annuels en Amérique:

  • 2016: 7 000 000 coups
  • 2017: 6 650 000 coups
  • 2018: 6 317 500 coups
  • 2019: 6 001 625 coups

Exemples de questions

Quel est le pourcentage de réduction obligatoire de la consommation de sel dans les restaurants?

Réponse: 2,5%

Explication: Trois choses différentes - taux de sodium, crises cardiaques et accidents vasculaires cérébraux - devraient diminuer. Chaque année, les restaurants devaient réduire leur teneur en sodium de 2,5% par an à compter de 2017.

Quel est le facteur de décomposition obligatoire pour la consommation de sel dans les restaurants?

Réponse: .975

Explication: facteur de décomposition:

(1 - b) = (1 - 0,025) = 0,975

Sur la base des prévisions, quel serait le pourcentage de diminution pour les crises cardiaques annuelles?

Réponse: 10 pour cent

Explication: Le déclin prédit des crises cardiaques peut être décrit par la fonction suivante:

y = 10 000 000 (1 - 0,10) x

où "y" représente le nombre annuel de crises cardiaques après "x" ans.

Sur la base de prévisions, quel sera le facteur de décomposition pour les crises cardiaques annuelles?

Réponse: .90

Explication: facteur de décomposition:

(1 - b) = (1 - .10) = .90

Sur la base de ces projections fictives, quel sera le pourcentage de diminution des accidents vasculaires cérébraux en Amérique?

Réponse: 5 pour cent

Explication:

A. Choisissez des données pour deux années consécutives: 2016: 7 000 000 AVC; 2017: 6 650 000 coups

B. Utilisez cette formule: Pourcentage de diminution = (ancien - plus récent) / ancien

(7 000 000 - 6 650 000) / 7 000 000 = 0,05 ou 5 pour cent

C. Vérifiez la cohérence et choisissez les données pour un autre ensemble d'années consécutives: 2018: 6 317 500 AVC; 2019: 6 001 625 coups

Pourcentage de diminution = (plus âgé - plus récent) / plus âgé

(6 317 500 - 6 001 625) / 6 001 625 environ 0,05 ou 5 pour cent

Sur la base de ces projections fictives, quel sera le facteur de décroissance des accidents vasculaires cérébraux en Amérique?

Réponse: .95

Explication: facteur de décomposition:

(1 - b) = (1 - 0,05) = 0,95

Anne Marie Helmenstine, Ph.D.